[회로 기초] 주파수 영역에서의 수동 회로 소자

주파수 영역에서의 수동 회로 소자를 분석하기 위해서는 회로가 주파수 영역에서 동작해야 한다.

회로가 주파수 영역에서 동작한다는 것은 전원이 정현파 형태로 존재한다는 것이다.

 

정현파 전원(Sinusoidal Source)

지금까지 우리는 고정적인 DC 전원들만 보았다. 그러나 정현파적으로 변화하는 전원을 공급해주는 정현파 전원(Sinusoidal Source)도 존재한다. 정현파 전압은 아래와 같은 파형으로 나타난다. 

정현파 파형

 

위의 파형에 대해 아래의 식으로 표현할 수 있다.

정현파를 표현한 식

 

여기서 ω는 각주파수로 다음을 나타낸다.

각주파수의 정의

 

 

 

주파수 영역에서의 수동 회로 소자

수동 회로 소자가 주파수 영역에서 어떻게 동작하는지 알아보기 위해서는 페이저 변환의 개념을 알아야 한다.

그러나 여기서는 페이저 변환의 개념의 이해는 미뤄두고 수동 소자들이 이렇게 표현이 될 수 있다는 점을 알아두자.

 

 

 

저항(Resistor)

먼저 저항에 대해서 분석해보자. 옴의 법칙으로부터 저항, 전류 그리고 전압에 대해서 표현하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

위의 식을 페이저 변환하면 아래와 같이 표시할 수 있고 결국 최종 식은 마지막처럼 표현할 수 있다.

저항에서 페이저 전압과 전류 관계

 

우리가 알고 있는 옴의 법칙이 그대로 표현된다.

여기서 또 하나 알아두면 좋을 점은 저항을 거쳤을 때는 위상 이동이 없다는 점이다. 이를 동상이라고 표현한다.

 

 

 

인덕터(Inductor)

이번에는 인덕터에 대해서 분석해보자. 인덕터의 전류와 전압의 관계를 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

위의 식을 페이저 변환하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

인덕터 양단에서 페이저 전압과 전류 관계

우리가 계산하던 변화량에 대한 식이 아닌 더 간단한 식으로 나타낼 수 있다.

저항에서 알아봤던 것과 마찬가지로 여기서 위상을 확인해보면 저항에서와는 조금 다름을 확인할 수 있다.

인덕터를 거치면 전압과 전류가 정확히 90º 만큼 위상차가 난다는 것을 확인할 수 있다.

전류가 전압보다 90º 만큼 뒤쳐지는 것을 확인할 수 있다. 전압은 전류를 90º 앞선다고 할 수 있다.

 

 

 

커패시터(Capacitor)

마지막으로 커패시터에 대해서 분석해보자. 커패시터 양단에서의 전류와 전압의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

페이저 변환하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

위의 식을 다시 바꿔 정리하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

커패시터 양단의 페이저 전압과 전류 관계

 

인덕터와 마찬가지로 우리가 계산하던 변화량에 대한 식이 아닌 더 간단한 식으로 나타낼 수 있다.

위상을 확인해보면 인덕터와 마찬가지로 저항에서와는 조금 다름을 확인할 수 있다.

인덕터와는 반대로 전압이 전류보다 90º 만큼 뒤쳐지는 것을 확인할 수 있다.

 

 

 

임피던스(Impedance)

위에서 수동 소자들을 분석해보면 다음과 같이 식을 정리할 수 있다.

여기서 Z는 회로 소자의 임피던스(impedance)를 나타낸다. 임피던스는 회로 소자의 전압 페이저와 전류 페이저의 비라는 것을 알 수 있다. 위에서 해석한 결과를 가져오면 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

회로소자	임피던스
저항	R
인덕터	𝑗𝜔𝐿
커패시터	j(-1/ωC)

 

이렇게 페이저 형식으로 표현된 전류와 전압들은 이전에 보았던 회로 해석기법을 모두 적용할 수 있다.

임피던스끼리의 직렬연결과 병렬연결에 대한 등가 임피던스도 기존 방식대로 구할 수 있으며

회로 해석의 기본이 되었던 KCL, KVL을 적용할 수 있고 KCL과 KVL을 적용하던 회로 해석 방법인 마디 전압 법과 망 전류 법 모두 적용할 수 있다. 마지막으로 테브냉 - 노턴 등가 회로도 구현할 수 있으며 전원 변환 또한 가능하다.

복소수가 들어가서 식이 좀 복잡할 수는 있지만 직접 페이저 형식을 사용해 회로를 분석해보는 것을 추천한다.