[회로 기초] 회로 해석 방법 - 마디 전압법(Node Voltage Method)에 대해 알아보자

키르히호프의 법칙과 옴의 법칙으로 간단한 저항 회로를 해석할 수 있다.

조금 더 복잡한 회로 구조의 해석에 도움이 되는 회로 해석의 기법 중 하나인 마디 전압 법(Node Voltage Method)에 대해 알아보자.

 

마디 전압 법(Node Voltage Method)

이름은 어렵게 되어있지만 사실은 키르히호프의 전류 법칙(KCL)을 이용한 해석 방법이다.

한 node에서 흐르는 전류의 대수 합은 0이다 라는 정의의 키르히호프의 전류 법칙(KCL)을 이용한다.

마디 전압 법을 사용하기 위해서는 필수 마디(Essential node)를 찾아야 한다.

 

필수 마디(Essential node)

필수 마디란 소자가 적어도 3개 이상 접해있는 마디(node)를 의미한다.

 

필수 마디에 대한 정의를 내린 이유는

회로의 필수 마디 개수를 알면 몇 개의 마디 전압 식이 필요한지 알 수 있기 때문이다.

필수 마디가 n개 있다면 이 회로를 해석하기 위해서는 n-1개의 마디 전압 식이 필요하다.

 

다음 예시 회로를 참고하여 마디 전압 법을 적용해보자.

마디 전압법을 적용할 예시 회로

Node a와 b에서 KCL을 적용하면 아래와 같은 식이 나온다.

예시 회로에서 Node a, b에서 KCL을 표현한 식

위의 식을 풀어보면 V1은 9.09V, V2는 10.91V가 나온다.

이 마디 전압으로 모든 가지 전류를 계산할 수 있고 이를 사용하면 가지 전압과 전력을 계산할 수 있다.

 

 

이번에는 종속 전원을 포함한 회로에 대해서 마디 전압 법을 사용해보자.

 

종속 전원이 포함된 예시 회로

위의 예시 회로도 마찬가지로 Node a와 b에서의 KCL을 적용해보자.

앞선 회로에서 전류원만 추가되었다고 생각하면 된다.

적용하면 식은 다음과 같이 나온다.

예시 회로의 Node a,b에 KCL을 적용한 식 

여기서 i1에 대한 식은 다음과 같이 다시 정의할 수 있다.

이 3개의 식을 정리하면 V1과 V2의 값, 마디 전압을 알 수 있다.

위의 식을 풀어보면 V1은 32V, V2는 16V가 나온다.

 

마디 전압 법을 사용하여 회로를 해석해나가다 보면 특별한 경우를 발견할 수 있다.

바로 하나의 전압원이 2개의 필수 마디 사이에 있는 유일한 소자일 때이다.

 

이 경우도 예시 회로를 분석하며 알아보자.

마디 전압법 해석의 특별한 경우에 대한 예시 회로

Node a와 b에서 KCL을 적용해 마디 전압 법 해석을 하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

위의 두 식을 더하면 아래와 같이 i를 소거하여 나타낼 수 있다.

V1과 V2는 종속 전원에 의해 전압 차이가 발생하므로 이를 사용해 V1과 V2를 구할 수 있다.

 

여기서 눈여겨볼 점은 Node a와 Node b의 식을 계산했을 때 같이 공유하고 있는 유일한 전압원으로 인해

공통 노드가 자연적으로 소거될 수 있다는 점이다.

 

전압원이 2개의 필수 마디 사이에 있을 때 이 마디를 슈퍼 노드(super node) 형태로 결합시킬 수 있다.

이 슈퍼노드에서도 KCL을 적용하여 식을 쉽고 빠르게 정리할 수 있어 유용하다.

아래에 슈퍼노드를 적용한 예시 회로를 참고하자.

슈퍼 노드(super node)를 적용한 예시 회로

Node a와 b를 같은 노드로 생각하고 KCL을 적용하면 다음과 같은 식으로 표현된다.

위에서 전원에 흐르는 전류 i를 소거하기 위해 두 개의 식을 정리한 결과와 같은 결과를 보인다.

여기서 주의할 점은 node a와 b의 전위가 같다는 의미는 아니다. 단순히 계산을 쉽게 하기 위해 표현한 것이다.

따라서 a와 b의 전압 차이는 여전히 유지되며 이를 이용하면 다음과 같은 식이 나온다.

위의 세 개의 식을 종합하면 V1은 60V, V2은 80V가 나온다.

 

많은 예시 회로들을 해석해보며 이런 분석 방법을 익숙하게 만드는 것이 중요하다.