[회로 기초] 직렬 RL 고역통과 필터(High-pass filter) 에 대해 알아보자

고역통과 필터(High-pass filter)

고역통과 필터(High-pass filter)는 입력에서 출력까지 차단 주파수(cut-off frequency) 보다 높은 주파수의 신호를 통과시킨다. 여기서 알아볼 High-pass filter는 앞에서 알아보았던 Low-pass filter와 마찬가지로 수동 소자로 이루어진 필터인 수동 필터(passive filter)에 대해서만 알아보려고 한다. 직렬 RC회로와 직렬 RL회로로 High-pass filter를 만들 수 있다. 앞서 Low-pass filter를 알아볼 때 쓰였던 회로가 사용된다는 점에서 의아할 수 있지만, 동일한 회로에서 출력을 무엇으로 정의하느냐에 따라 High-pass filter가 될지 Low-pass filter가 될지 구분된다. 아래의 직렬 RL회로를 보며 이해해보자.

 

직렬 RL 회로

직렬 RL 회로는 아래와 같이 구성되어 있다.

직렬 RL회로

 

직렬 RC회로를 분석했던 것과 동일한 방식으로 분석해보자.

먼저, 수식을 사용하지 않고 위의 직렬 RL회로가 어떻게 High-pass filter가 될 수 있는지 정석적으로 분석해보자.

이 회로에서 입력인 V_i는 가변 주파수를 갖는 정현파 전압이고 회로에서 출력은 인덕터 양단의 전압 V_o이다. 

 

직렬 RL 회로 - 정성적 해석

이 회로의 입력인 V_i의 주파수가 낮은 값에서부터 점차 증가한다고 가정해보자.

인덕터의 임피던스는 jωL이다. 주파수가 낮은 영역에서는 인덕터의 임피던스가 매우 낮음을 알 수 있다.

ωL≪R인 경우 이 회로에는 R의 임피던스만 존재한다고 할 수 있다.

주파수가 이제 점점 높아지면 인덕터의 임피던스가 주파수를 따라 커지게 된다. 임피던스가 커지게 되다 보면 ωL≫R인 경우부터는 이 회로에 ωL의 임피던스만 존재한다고 할 수 있다. 이 주파수가 더더욱 커지게 되어 ω=∞가 되면 인덕터의 임피던스 또한 무한히 크기 때문에 인덕터 양단이 OPEN 되어있다고 볼 수 있다.

위의 극단적인 두 경우(ω=0, ω=∞)에 대해서 회로로 표현하면 아래와 같이 표현할 수 있다.

w=0일 때 직렬 RL 회로의 등가 회로(좌), w가 무한일 때 직렬 RL 회로의 등가 회로(우)

 

각 극단적인 경우에 대하여 출력 전압과 위상 차이를 생각해보자.

ω=0일 때 인덕터의 임피던스가 0이므로 인덕터 양단이 SHORT되어 인덕터 양단에 걸리는 전압 V_o는 0이 된다. 

ω=∞일 때 인덕터의 임피던스가 무한히 크기 떄문이 인덕터 양단이 OPEN되었다고 판단할 수 있다. 이때 인덕터 양단에 걸리는 전압 V_o는 입력 전압 V_i와 동일하다.

전달 함수의 입장에서 비교하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

주파수에 따른 직렬 RL회로의 출력 전압 및 위상 차이 그래프

 

 

직렬 RL 회로 - 정량적 해석

이번에는 실제 전달 함수를 구해 어떻게 이 직렬 RL회로가 High-pass filter로 동작할 수 있는지 알아보자. 직렬 RL 회로의 주파수 대역 등가 회로는 아래와 같다.

RL회로의 주파수 대역 등가 회로

 

이 회로의 전압에 대한 전달 함수는 다음과 같다.

 

주파수 응답을 확인하기 위해 s=jω로 대체하면 다음과 같이 표현된다.

 

이제 위의 식을 전달 함수 크기의 식과 주파수에 대한 위상각의 식으로 분리하면 아래와 같다.

 

전달 함수 크기의 식을 보면 앞에서 정성적으로 분석했던 결과와 동일하다는 것을 알 수 있다.

ω=0일 때 전달 함수 크기는 0이 나오고, ω=∞일 때 전달 함수 크기는 1이 나와 입력과 출력이 동일하다고 생각한 정성적 분석의 결과와 동일하다. 앞서 살펴본 차단 주파수ω_c에 대해서도 알아보자. 차단 주파수는 최대 출력 진폭의 1/√2이 되는 주파수이므로 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

위의 식을 사용해 차단 주파수 ω_c를 구하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

RL 필터의 차단 주파수

 

이를 보면 High-pass filter 직렬 RL필터를 사용할 때 R과 L의 값을 적절히 조절하면 우리가 원하는 차단 주파수를 선택하여 우리가 원하는 주파수를 통과시킬 수 있는 High-pass filter를 설계할 수 있음을 알 수 있다.

 

마지막으로 High-pass filter에서도 차단 주파수와 우리가 1차 RL회로와 RC회로에서 정의한 시정수(time constant)를 비교해보면 다음과 같은 관계를 발견할 수 있다.

시정수와 차단 주파수의 관계

 

Low-pass filter와 High-pass filter에 상관없이 회로의 시간 응답과 주파수 응답으로 분석했을 때 시간과 주파수 사이의 관계라고 생각하면 된다.