[회로 기초] 직렬 RC 고역통과 필터(High-pass filter) 에 대해 알아보자

고역통과 필터(High-pass filter)

고역통과 필터(High-pass filter)는 입력에서 출력까지 차단 주파수(cut-off frequency) 보다 높은 주파수의 신호를 통과시킨다. 여기서 알아볼 High-pass filter는 앞에서 알아보았던 Low-pass filter와 마찬가지로 수동 소자로 이루어진 필터인 수동 필터(passive filter)에 대해서만 알아보려고 한다. 직렬 RC회로와 직렬 RL회로로 High-pass filter를 만들 수 있다. 앞서 Low-pass filter를 알아볼 때 쓰였던 회로가 사용된다는 점에서 의아할 수 있지만, 동일한 회로에서 출력을 무엇으로 정의하느냐에 따라 High-pass filter가 될지 Low-pass filter가 될지 구분된다. 아래의 직렬 RC회로를 보며 이해해보자.

 

직렬 RC 회로

직렬 RC 회로는 아래와 같이 구성되어 있다.

직렬 RC회로

앞에서 살펴보았던 Low-pass filter에서의 직렬 RC회로와 조금 차이가 보일 것이다.

이 회로에서 입력인 V_i는 가변 주파수를 갖는 정현파 전압이고 회로에서 출력은 저항 양단의 전압 V_o이다. 기존에 Low-pass filter로 사용했던 직렬 RC회로는 커패시터 양단의 전압을 출력으로 보았지만, 여기서는 저항 양단의 전압을 가져가는 것을 확인할 수 있다. 

먼저, Low-pass filter에서 분석했던 것과 마찬가지로 수식을 사용하지 않고 직렬 RC회로가 어떻게 High-pass filter가 될 수 있는지 정석적으로 분석해보자.

 

직렬 RC 회로 - 정성적 해석

이 회로의 입력인 V_i의 주파수가 낮은 값에서부터 점차 증가한다고 가정해보자.

커패시터의 임피던스는 1/jωC이다. 주파수가 낮은 영역에서는 커패시터의 임피던스가 매우 높음을 알 수 있다.

1/ωC≫R인 경우 이 회로에는 커패시터의 임피던스만 존재한다고 할 수 있다. ω=0일 때 커패시터의 임피던스 또한 무한히 크기 때문에 커패시터 양단이 OPEN 되어있다고 볼 수 있다.

주파수가 이제 점점 높아지면 커패시터의 임피던스가 점점 작아지게 된다. 임피던스가 작아지게 되다 보면 1/ωC≪R인 경우부터는 이 회로에 저항의 임피던스만 존재한다고 할 수 있다. 이 주파수가 더더욱 커지게 되어 ω=∞가 되면 커패시터의 임피던스가 0에 가까워지기 때문에 커패시터 양단이 SHORT 되어있다고 볼 수 있다.

위의 극단적인 두 경우(ω=0, ω=∞)에 대해서 회로로 표현하면 아래와 같이 표현할 수 있다.

w=0일 때 직렬 RC 회로의 등가 회로(좌), w가 무한일 때 직렬 RC 회로의 등가 회로(우)

 

각 극단적인 경우에 대하여 출력 전압과 위상 차이를 생각해보자.

ω=0일 때 저항 양단에 걸리는 전압 V_o는 커패시터가 OPEN 되어 전압 공급을 받지 못하므로 0이 된다. 커패시터가 회로에 영향을 주게 되므로 출력 전압은 입력 전압에 대하여 90 º의 위상 차이를 갖게 된다. 입력 전압 V_i와 동일하다. 또한 인덕터가 회로에 영향을 주지 못하므로 입력 전압과의 위상 차이도 존재하지 않는다.

ω=∞일 때 저항 양단에 걸리는 전압 V_o는 커패시터가 SHORT 되어 입력 전압 V_i와 동일하다. 또한 커패시터가 회로에 영향을 주지 못하므로 입력 전압과의 위상 차이도 존재하지 않는다.

전달 함수의 입장에서 비교하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

주파수에 따른 직렬 RC회로의 출력 전압 및 위상 차이 그래프

 

 

직렬 RC 회로 - 정량적 해석

이번에는 실제 전달 함수를 구해 어떻게 이 직렬 RC회로가 High-pass filter로 동작할 수 있는지 알아보자. 직렬 RC 회로의 주파수 대역 등가 회로는 아래와 같다.

직렬 RC회로의 주파수 대역 등가 회로

 

이 회로의 전압에 대한 전달 함수는 다음과 같다.

주파수 응답을 확인하기 위해 s=jω로 대체하면 다음과 같이 표현된다.

 

이제 위의 식을 전달 함수 크기의 식과 주파수에 대한 위상각의 식으로 분리하면 아래와 같다.

 

전달 함수 크기의 식을 보면 앞에서 정성적으로 분석했던 결과와 동일하다는 것을 알 수 있다.

ω=0일 때 전달 함수 크기는 0이 나오고, ω=∞일 때 전달 함수 크기는 1이 나와 입력과 출력 값이 같다는 정성적 분석의 결과와 동일하다. 앞서 살펴본 차단 주파수ω_c에 대해서도 알아보자. 차단 주파수는 최대 출력 진폭의 1/√2이 되는 주파수이므로 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

위의 식을 사용해 차단 주파수 ω_c를 구하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

RC 필터의 차단 주파수

 

이를 보면 High-pass filter RC필터도 R과 C을 적절히 조절하면 우리가 원하는 차단 주파수를 선택하여 우리가 원하는 주파수를 통과시킬 수 있는 High-pass filter를 설계할 수 있음을 알 수 있다.

 

또 다른 High-pass filter인 직렬 RL회로도 직렬 RC회로와 마찬가지로 정성적/정량적 해석을 통해 분석할 수 있다. 풀어내는 방식은 동일하기 때문에 위에서 진행한 방식대로 스스로 해보면 풀 수 있을 것이다. High-pass filter RL회로에 대해서는 다음 장에서 해석해보자.