[회로 기초] 1차 RL 회로(resistor-inductor circuit)의 자연 응답(natural response)

이젠 저항만 있는 소자에서 벗어나 다른 소자들이 있는 회로들도 분석하려한다.

앞에서 살펴본 인덕터가 추가된 회로를 분석해보자. 인덕터의 중요한 특징은 에너지를 저장하는 소자라는 점이다.

저항과 인덕터로 구성된 회로인 RL회로(Resistor-Inductor circuit)를 해석해보자.

 

RL 회로를 해석할 때 두가지 경우로 나누어 해석할 것이다.

먼저 인덕터에 저장된 에너지를 저항 회로로 방출할 때 발생하는 전류와 전압에 대해 해석한다. 이 구조에서 발생하는 전압, 전류는 회로의 자연 응답(natural response)으로 회로의 동작을 결정한다.

두번째 경우는 전원이 회로에 인가되는 경우, 발생하는 전류와 전압에 대해 해석할 것이다. 이 응답은 계단 응답(step response)라고 부른다.

 

자연 응답(natural response)

먼저 자연 응답(natural response)부터 알아보자.

인덕터는 전류의 변화량으로 전압을 정의할 수 있다.

인덕터 양단의 전압

따라서 전류의 변화량이 없다면 인덕터 양단에 걸리는 전압은 0V가 된다. 이를 이해하고 아래의 회로를 확인해보자.

인덕터에 에너지가 저장되어있는 RL 회로를 만들기 위한 회로

t=0일 때 스위치가 열리면서 전류원과 저항 회로, 인덕터와 저항 회로가 분리가 된다. 그 이전인 t<0일 때는 스위치가 닫혀있어 전류원과 저항 인덕터로 구성된 회로가 된다. 각자의 정상상태(steady-state)에 도달할 만큼의 시간이 흐른 뒤에 스위치를 연다고 가정해보자.(전류와 전압이 상수 값에 도달한 상태를 의미한다.)

저항에 전류가 흘러 저항 양단에 전압이 생긴다고 가정해보자. 그 상태에서 같이 발생할 사건은 저항과 병렬 연결된 인덕터 양단에도 전압이 생긴다는 점이다. 인덕터 양단에 전압이 생긴다는 것은 인덕터에 흐르는 전류에 변화가 생겼다는 것이고 이는 KCL에 의하면 저항에 흐르는 전류에도 변화가 생기는 것이다. 그렇다면 이는 정상상태(steady-state)라고 볼 수 없다. 처음 회로를 해석하게 되면 이해가 되지 않을 수 있겠지만, 인덕터에 모든 전류 I_S가 흐른다면 어떻게 될까? 인덕터에 고정전류 I_S가 흐르므로 전류의 변화량이 없어 인덕터 양단의 전압은 0이 된다. 이는 다른 저항으로 전류가 흐르지 않는다는 것과 같은 얘기가 되므로 앞에서 얘기한 전류 모두가 인덕터로 흐른다는 과정과 일맥상통하다. 즉, 스위치를 열기(t=0) 바로 직전에는 인덕터에만 전류가 흘러 에너지가 저장되고 있다고 볼 수 있다.

스위치가 열리면 아래와 같은 회로가 나온다.

자연 응답을 알아보기 위한 RL회로(위의 회로에서 t=0일 때의 회로)

이제 위의 RL 회로에서 i(t)와 v(t)를 구해보자.

KVL을 사용하여 i(t)를 구해보자. 위의 폐회로에 KVL을 사용하면 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

위의 식을 풀어가면 아래 순서로 풀어갈 수 있다.

위의 순서대로 풀어오면 마지막 식을 얻을 수 있다. 여기서 i(0)는 I_S와 같다.

인덕터에서는 전류의 순간적인 변화가 발생할 수 없고 이에 따라 i(0^-) = i(0⁺) = I_S 가 되므로 i(0)는 IS이다.

공용성을 위해 I_S를 I₀로 표시하자.

그럼 RL 회로 전류의 자연 응답은 다음과 같이 된다.

RL회로의 자연 응답

위의 전류 식을 사용하면 옴의 법칙을 적용해 저항 양단에 걸리는 전압도 알 수 있다.

 

시정수(time constant)

위의 전류 식을 다시 살펴보면 t의 계수, R/L이 전류가 0에 접근하는 비율을 결정함을 알 수 있다. 이 비율의 역수를 회로의 시정수로 정의한다.

시정수의 정의

 

위의 전류 식을 시정수에 대해서 다시 적어보면 다음과 같다.

시정수를 사용해 기술한 RL 회로의 자연 응답

 

RL회로의 자연 응답에 대해서 알아보았다.

 

다음 장에서는 RL 회로의 계단 응답에 대해 알아보자.