중첩의 원리
선형 시스템에서는 중첩(Superposition)의 원리를 적용할 수 있다. 중첩의 원리는 회로 전체 응답은 개별 응답의 합이라는 것을 의미한다. 개별 응답이란 하나만 활동하는 독립 전원의 결과이다. 다시 말하면 회로에 여러 독립 전원이 있을 때 각각의 독립전원에 의한 결과들을 합하면 회로 전체의 결과라는 의미이다.
직관적으로 생각했을 때 중첩을 적용하는 것은 여러 독립 전원들을 하나씩 분석하므로 회로 해석에 매우 유용할 것처럼 보이고 실제로 사용했을 때 회로 해석을 단순하게 만들어 주어 유용한 경우가 있다. 그러나 때로는 중첩을 적용하는 것이 실제로 해석을 복잡하게 하고 다른 방법으로 하는 것보다 풀어야 할 더 많은 식을 생성하는 경우도 있다. 중첩은 회로에 있는 독립 전원이 본질적으로 다를 때만 필요하다. 예를 들어 회로에 DC 전압원 혹은 DC 전류원 한 종류만 있다면 중첩의 원리를 사용하여 회로 해석하는 것을 추천하지 않는다.
아래 예시 회로를 보며 실제 중첩의 원리를 적용하여 회로 해석하는 과정을 알아보자.
중첩의 원리를 적용하기 위해서 우리는 먼저 독립 전원에 대해서 분석해보아야 한다.
위의 예시 회로에서는 120V의 전압원과 12A의 전류원이 독립 전원으로 동작한다.
먼저 120V의 전압원이 독립적으로 회로에 미치는 영향을 알아보자.
120V의 전압원만을 확인해야 하므로 12A의 전류원은 불활성화 해야 한다.
전류원을 불활성화 하는 방법은 전류원의 양단을 개방(open)하는 것이다.
전류원 양단을 open 하면 아래와 같은 회로로 나타낼 수 있다.
위의 회로에서 KCL을 사용해 V1의 전압을 구할 수 있고 이를 알면 노드 전류들을 구할 수 있다.
구하는 과정은 아래 식과 같다.
이제는 DC 전압원을 불활성화 시켜 DC 전류원에 대한 개별 응답을 분석해보자.
전압원을 불활성화 하는 방법은 전압원의 양단을 단락(short)하는 것이다.
전압원 양단을 short 하면 아래와 같은 회로로 나타낼 수 있다.
위의 회로에서 Node Voltage Method를 사용하면 V2와 V4을 구할 수 있다.
V2와 V4를 구하면 이를 사용해 각 마디 전류를 다시 알아낼 수 있다.
아래의 식을 참고하자.
각자 전원에 대한 개별 응답에 대해 알아보았다.
중첩의 원리는 개별 응답들의 합으로 전체 응답을 구할 수 있는 것이다.
따라서 이 개별 응답들의 합을 구하면 이것이 예시 회로의 전체 응답이 되는 것이다.
전체 응답은 아래와 같다.
위와 같이 중첩의 원리를 적용하여 회로를 해석할 수 있다. 그러나 앞에서 얘기했듯이 모든 회로가 중첩을 적용할 수 있는 것은 아니다. 또한 독립 및 종속 전원 모두를 포함하고 있는 선형 회로는 종속 전원을 절대로 불활성화 하면 안 된다.
종속 전원이 있는 경우는 종속 전원을 포함시켜 중첩을 적용해야 한다.
아래 예시 회로를 보며 종속 전원이 있는 경우의 적용 방법을 알아보자.
위의 회로에서 중첩을 적용하기 위해서 먼저 DC 전류원을 비활성화한다.
DC 전류원 비활성화는 전류원 양단을 open 하는 것이다. 아래 회로와 같이 표현할 수 있다.
위의 예시 회로에서 주목할 점은 종속 전원들의 변수들도 중첩을 적용하는 데에 맞게끔 변형된 점이다. 그리고 종속 전원은 불활성 화하지 않은 것도 다시 한번 기억하자.
위의 회로를 풀어내면 아래와 같다.
이번에는 DC 전압원을 비활성화하여 전류원에 대해 회로를 해석해보자.
DC 전압원을 비활성 하기 위해서는 전압원 양단을 short 하는 것이다.
표현하면 아래 회로와 같이 표현할 수 있다.
위의 회로를 풀어내면 다음과 같이 값을 구할 수 있다.
개별 응답을 구했으므로 이 회로의 전체 응답은 다음과 같다.
위와 같이 종속 전원이 있는 경우에 대해서도 중첩을 적용해보았다.
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