[회로 기초] 대역 차단 필터(Band-reject filter)에 대해 알아보자

대역 차단 필터(Band-reject filter)

앞장에서 우리는 두 개의 차단 주파수를 기준으로 사이의 대역의 전압을 통과시키는 대역 통과 필터(Band-pass filter)에 대해 배워보았다. 대역 차단 필터(Band-reject filter)는 이와 반대로 두 차단 주파수 사이의 대역 밖의 전원 전압을 출력으로 통과시키고, 두 차단 주파수 사이의 주파수에 해당하는 전원 전압이 출력에 이르기 전에 감쇠시키는 필터이다. 대역 통과 필터와는 반대의 기능을 하는 필터이다.

 

대역 차단 필더도 대역 통과 필터와 같은 아래 세 가지 지표를 사용한다. 

 

1. 중심 주파수(Center frequency, ω_o)

   

2. 대역폭(Bandwidth, β)

   

3. 품질지수(Quality factor, Q)

   

위의 세 가지 정의를 기억하고 이제 대역 차단 필터에 대해 알아보자.

대역 차단 필터로 동작하는 RLC회로는 아래와 같다.

직렬 RLC 대역차단 필터

 

이 회로에서 입력인 V_i는 가변 주파수를 갖는 정현파 전압이고 회로에서 출력은 인덕터와 커패시터까지의 전압 V_o이다. 

앞에서 분석했던 것과 마찬가지로 먼저 정성적으로 분석한 뒤, 정량적으로 분석해보자.

 

직렬 RLC 회로 - 정성적 해석

이 회로의 입력인 V_i의 주파수가 낮은 값에서부터 점차 증가한다고 가정해보자.

ω=0일 때, 커패시터의 임피던스는 무한히 커져 커패시터 양단은 OPEN 되고, 인덕터의 임피던스는 0이 되어 인덕터 양단은 SHORT가 된다. 즉, 커패시터가 회로를 OPEN 시켜 전류는 흐르지 않게 되지만, 출력 전압 V_o는 입력 전압 V_i가 된다.

이제 주파수가 점점 커지게 되면, 그에 따라 인덕터의 임피던스는 증가하여 유의미한 값의 임피던스가 나오고 커패시터의 임피던스는 감소하여 유의미한 값의 임피던스가 나오게 된다. 그러나 커패시터와 인덕터의 임피던스의 크기는 유한하고 부호는 서로 반대가 된다. 따라서 두 소자의 임피던스의 총합이 0이 되면 회로가 SHORT 된 것이므로 출력 전압 V_o는 0이 된다. 이렇게 유의미한 값의 임피던스가 전원에 걸리게 되어 저항으로 전류가 흘러 출력 전압 V_o의 값이 나오게 된다. 이제, 주파수가 점점 더 커져 ω=∞일 때를 생각해보자.

ω=∞일 때, 커패시터의 임피던스는 0이 되어 커패시터 양단은 SHORT가 되고, 인덕터의 임피던스는 무한히 커져 인덕터 양단은 OPEN 된다. 이 때도 ω=0일 때와 마찬가지로 저항으로 전류가 흐르지 못하지만 회로를 살펴보면 출력 전압 V_o는 입력 전압 V_i이 된다.

정성적으로 해석해보면 주파수가 극으로 갔을 때는 출력 전압이 입력 전압과 동일해지고 주파수가 적절한 값에 들어오는 순간부터 인덕터의 임피던스와 커패시터의 임피던스가 같아져 회로 SHORT로 인해 출력 전압 V_o이 0이 됨을 확인할 수 있다. 이때 생길 변화 지점도 두 지점으로 예상할 수 있고, 이제 우리는 이 지점이 차단 주파수가 될 것이라는 예측을 할 수 있다.

 

아래 그림을 보면 이해하는데 조금 도움이 될 것이다.

w=0일 때 직렬 RLC 회로의 등가 회로(좌), w가 무한일 때 직렬 RLC회로의 등가 회로(우)

아래는 정성적으로 해석한 것을 그래프로 그린 내용이다. 앞에서 본 필터의 특성을 결정하는 3가지와 연결 지어서 확인해보자.

주파수에 따른 직렬 RLC회로의 출력 전압 및 위상 차이 그래프

 

 

직렬 RLC 회로 - 정량적 해석

이번에는 실제 전달 함수를 구해 어떻게 이 직렬 RLC회로가 Band-reject filter로 동작할 수 있는지 알아보자. 직렬 RLC 회로의 주파수 대역 등가 회로는 아래와 같다.

직렬 RLC회로의 주파수 대역 등가 회로

이 회로의 입력 전압에 대한 출력 전압의 전달 함수는 다음과 같다.

 

위 식에 s=jω을 대입하면 전달 함수의 크기와 위상각 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

중심 주파수 ω_o에 대해 알아보자. 중심 주파수 ω_o는 전달 함수가 순 실수가 되는 주파수이다. 즉, 대역 차단 필터 회로에서도 대역 동과 필터와 마찬가지로 인덕터의 임피던스와 커패시터의 임피던스의 합이 0이 되는 입력 주파수에서 순 실수가 된다.

 

위의 식에서 중심 주파수 ω_o는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

중심 주파수

 

이번엔 차단 주파수 ω_c1과 ω_c2에 대해 알아보자. 차단 주파수에서 전달 함수의 크기는 최대 값의 1/√2이 됨을 이용하자.

대역 통과 필터에서 풀어냈던 방식대로 앞에서 풀어내었던 전달 함수의 크기에 대한 식을 차단 주파수를 대입해 풀면 차단 주파수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

직렬 RLC 대역 차단 필터의 차단 주파수

 

대역 통과 필터의 두 번째 지표였던 대역폭(Bandwidth)은 다음과 같이 표현할 수 있다.

대역폭과 차단 주파수의 관계

 

대역 통과 필터의 마지막 지표인 품질 지수는 대역폭에 대한 중심 주파수의 비로 정의된다.

품질 지수의 정의

특정 주파수 대역을 차단시키는 대역 차단 필터(Band-reject Filter)에 대해 알아보았다. 대역 차단 필터에는 위 회로의 구조가 아닌 다른 구조의 회로도 존재한다. 구조를 아래에 공유하니 위에서 풀어냈던 것과 같은 방식으로 풀어보는 것을 추천한다.

다른 구조의 대역 차단 필터