[회로 기초] 직렬 RC 저역통과 필터(Low-pass filter)에 대해 알아보자
저역통과 필터(Low-pass filter)
저역통과 필터(Low-pass filter)는 입력에서 출력까지 차단 주파수(cut-off frequency) 보다 낮은 주파수의 신호를 통과시킨다. 여기서 알아볼 Low-pass filter는 수동 소자로 이루어진 필터인 수동 필터(passive filter)에 대해서만 알아보려고 한다. 수동 소자로 이루어진 Low-pass filter는 직렬 RL 회로와 직렬 RC 회로이다. 직렬 RL 회로는 앞에서 알아보았다. 이번에는 직렬 RC 회로가 어떻게 차단 주파수(cut-off frequency)를 결정하는지 알아보자.
직렬 RC 회로
직렬 RC 회로는 아래와 같이 구성되어 있다.
직렬 RL회로를 분석했던 것과 동일한 방식으로 분석해보자.
먼저, 수식을 사용하지 않고 직렬 RC회로가 어떻게 Low-pass filter가 될 수 있는지 정석적으로 분석해보자.
이 회로에서 입력인 Vi는 가변 주파수를 갖는 정현파 전압이고 회로에서 출력은 커패시터 양단의 전압 Vo이다.
직렬 RC 회로 - 정성적 해석
이 회로의 입력인 Vi의 주파수가 낮은 값에서부터 점차 증가한다고 가정해보자.
커패시터의 임피던스는 1/jωC이다. 주파수가 낮은 영역에서는 커패시터의 임피던스가 매우 높음을 알 수 있다.
1/ωC≫R인 경우 이 회로에는 커패시터의 임피던스만 존재한다고 할 수 있다.
만일 ω=0인 경우에 커패시터의 임피던스는 무한히 크기 때문에 커패시터 양단이 OPEN 되어 있다고 볼 수 있다.
주파수가 이제 점점 높아지면 커패시터의 임피던스는 서서히 감소하게 된다. 임피던스가 감소하다 보면 1/ωC≪R인 경우부터는 이 회로에 저항 R의 임피던스만 존재한다고 할 수 있다. 이 주파수가 더더욱 커지게 되어 ω=∞가 되면 커패시터의 임피던스가 0으로 보이기 때문에 커패시터 양단이 SHORT 되어있다고 볼 수 있다.
위의 극단적인 두 경우(ω=0, ω=∞)에 대해서 회로로 표현하면 아래와 같이 표현할 수 있다.
각 극단적인 경우에 대하여 출력 전압과 위상 차이를 생각해보자.
ω=0일 때 커패시터 양단에 걸리는 전압 Vo는 커패시터가 OPEN 되어 입력 전압 Vi와 동일하다.
ω=∞일 때 커패시터 양단에 걸리는 전압 Vo는 커패시터가 SHORT 되어 커패시터 양단의 전압은 0이 된다.
전달 함수의 입장에서 비교하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
직렬 RL회로와 유사한 형태임을 확인할 수 있다.
직렬 RC 회로 - 정량적 해석
이번에는 실제 전달 함수를 구해 어떻게 이 직렬 RC회로가 Low-pass filter로 동작할 수 있는지 알아보자. 직렬 RL 회로의 주파수 대역 등가 회로는 아래와 같다.
이 회로의 전압에 대한 전달 함수는 다음과 같다.
주파수 응답을 확인하기 위해 s=jω로 대체하면 다음과 같이 표현된다.
이제 위의 식을 전달 함수 크기의 식과 주파수에 대한 위상각의 식으로 분리하면 아래와 같다.
전달 함수 크기의 식을 보면 앞에서 정성적으로 분석했던 결과와 동일하다는 것을 알 수 있다.
ω=0일 때 전달 함수 크기는 1이 나와 입력과 출력이 동일하고, ω=∞일 때 전달 함수 크기는 0이 나와 정성적 분석의 결과와 동일하다. 앞서 살펴본 차단 주파수ωc에 대해서도 알아보자. 차단 주파수는 최대 출력 진폭의 1/√2이 되는 주파수이므로 다음과 같이 표현할 수 있다.
위의 식을 사용해 차단 주파수 ωc를 구하면 다음과 같이 표현할 수 있다.
이를 보면 RC필터를 사용할 때 R과 C의 값을 적절히 조절하면 우리가 원하는 차단 주파수를 선택하여 우리가 원하는 주파수를 통과시킬 수 있는 Low-pass filter를 설계할 수 있음을 알 수 있다.
마지막으로 차단 주파수와 우리가 1차 RL회로와 RC회로에서 정의한 시정수(time constant)를 비교해보면 다음과 같은 관계를 발견할 수 있다.
회로의 시간 응답과 주파수 응답으로 분석했을 때 시간과 주파수 사이의 관계라고 생각하면 된다.